TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

EN ESTE VÍDEO QUE LES PRESENTAMOS A CONTINUACIÓN NOS VA HABLAR SOBRE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN Y EN QUE CONSISTEN ASÍ COMO LOS TEOREMAS MAS USADOS. 


EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS


TEOREMAS CON SUS RESPECTIVOS EJEMPLOS PARA UN MEJOR COMPRENSIÓN


APLICACIÓN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN "REGLA DE LA CADENA"

"DERIVADAS EN LA VIDA COTIDIANA"

COMO CALCULAR DERIVADAS

Las derivadas pueden usarse para obtener muchas características muy útiles sobre una gráfica, como los máximos, mínimos, pendientes, etc. Puedes usarlas para graficar ecuaciones complicadas. Desafortunadamente, obtener las derivadas es muy tedioso, pero este artículo te dirá algunos consejos y trucos que te pueden ayudar.

Pasos

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   Entiende qué es la notación de la derivada.
   

   • La notación de Leibniz Es la más común donde la ecuación involucra ‘y’ y ‘x’. dy/dx significa “la derivada de y con respecto a ‘x’”. Puede ser útil pensar en ella como Δy/Δx para los valores de ‘x’ y ‘y’ que son infinitesimalmente diferentes el uno al otro. Esta explicación se presta para la definición del límite de una derivada: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Si usas esta notación para una segunda derivada, debes escribir: d²y/dx².
   • Notación de Lagrange La derivada de una función también se escribe como f'(x). Esta notación se pronuncia “f prima de x”. Esta notación es más corta que la de Leibniz, y es útil cuando vemos a la derivada como una función. Para formar derivadas de alto orden, simplemente añade otro " ' " a "f," para que la segunda derivada sea f''(x).
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   Entiende qué es una derivada, y para qué se usa. Primero que nada, para encontrar la pendiente de una gráfica lineal, se toman dos puntos de la línea, y sus coordenadas se ponen en la ecuación (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Sin embargo, esto sólo puede usarse con gráficas lineales. Para ecuaciones cuadráticas y de más alto rango, la línea será curva, así que tomar la “diferencia” de dos puntos no será preciso. Para poder encontrar la pendiente de una tangente de una gráfica curva: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx significa "delta x," la cual es la diferencia entre dos coordinadas de x de los dos puntos de la gráfica. Date cuenta que ésta ecuación es la misma que (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), solo en diferente forma. Ya que sabemos que el resultado será equivocado, debemos tomar un enfoque indirecto. Para poder encontrar la pendiente de la tangente en (x, f(x)), dx debe acercarse a 0, para que los dos puntos que se tomen se unan en un solo punto. Sin embargo, no puedes dividir entre 0, así que después de poner los valores de los dos puntos, debes factorizar y hacer otros métodos para cancelar dx en el fondo de la ecuación. Una vez que hayas hecho eso, establece dx a 0 y resuelve. Ésta es la pendiente de la tangente en (x, f(x)). La derivada de una ecuación es la ecuación genérica para encontrar la pendiente de cualquier tangente de una gráfica. Esto puede parecer extremadamente complicado, pero a continuación hay unos ejemplos que pueden aclarar cómo obtener la derivada.

Método 1 de 4: Diferenciación Explícita

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   Usa la diferenciación explícita cuando tienes 'y' de un lado.
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   Coloca la ecuación en la ecuación [f(x + dx) - f(x)]/dx. Por ejemplo, si la ecuación era y = x², la derivada será [(x + dx)² - x²]/dx.
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   Expande y factoriza dx para formar la ecuación [dx(2x + dx)]/dx. Ahora puedes cancelar las dos dx's en la parte de arriba y la de abajo. El resultado es 2x + dx, y cuando dx se acerca a 0, la derivada es 2x. Esto significa que la pendiente de cualquier tangente de la gráfica y = x² es 2x. Sólo coloca el valor de x del punto donde quieres encontrar la pendiente.
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   Aprende los patrones para obtener la derivada a similares ecuaciones. Abajo hay unos ejemplos:
   

   • La derivada de cualquier potencia es la potencia por el valor de la potencia menos 1. Por ejemplo, la derivada de x⁵ es 5x⁴, y la derivada de x^3.5 es 3.5x^2.5. Si ya hay un número enfrente de x, entonces multiplícalo por la potencia. Por ejemplo, la derivada de 3x⁴ es 12x³.
   • La derivada de cualquier constante es cero. Así que la derivada de 8 es 0.
   • La derivada de una suma es la suma de sus derivadas individuales. Por ejemplo, la derivada de x³ + 3x² es 3x² + 6x.
   • La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo factor más el segundo factor por la derivada del primer factor. Por ejemplo, la derivada de x³(2x + 1) es x³(2) + (2x + 1)3x², lo cual es igual a 8x³ + 3x².
   • La derivada de un cociente (digamos, f/g) es [g(derivada de f) - f(derivada de g)]/g². Por ejemplo, la derivada de (x² + 2x - 21)/(x - 3) es (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

Método 2 de 4: Diferenciación Implícita

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   Usa una diferenciación implícita cuando la ecuación no puede escribirse fácilmente con ‘y’ de un lado sola. Incluso si pudiste escribir ‘y’ en un lado, computar dy/dx sería tedioso. Debajo hay unos ejemplos de cómo resolver estos tipos de ecuaciones.
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   En este ejemplo, x²y + 2y³ = 3x + 2y, remplaza y con f(x), así que recordaras que ‘y’ es la función. La ecuación se vuelve x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
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   Para encontrar la derivada de esta ecuación, debes encontrar la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a x. La ecuación entonces se vuelve x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
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   Remplaza f(x) con ‘y’ de nuevo. Ten cuidado de no hacer lo mismo con f'(x), el cual es diferente a f(x).
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   Resuelve para f'(x). La respuesta de este ejemplo quedaría así: (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).

Método 3 de 4: Derivadas de Orden Mayor

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   Calcular la derivada de orden mayor de una función significa calcular la derivada de la derivada (por orden de 2). Por ejemplo, si te pide que calcules la derivada de tercer orden, solo tienes que calcular la derivada de la derivada de la derivada. Para algunas ecuaciones, la derivada de orden mayor llega a 0.

Método 4 de 4: La Regla de la Cadena

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   Cuando 'y' es una función derivada de ‘y’, y ‘z’ es una función derivada de ‘z’, y ‘z’ es una función derivada de ‘x’, y la derivada de ‘y’ con respecto a ‘x’ (dy/dx) es (dy/du)*(du/dx). La regla de la cadena también puede componer ecuaciones, como ésta: (2x⁴ - x)³. Para encontrar la derivada, sólo piensa en la regla del producto. Multiplica la ecuación por la potencia y reduce la potencia por 1. Luego multiplica la ecuación por la derivada del interior de la potencia (en este caso, 2x^4 - x). La respuesta a este problema es 3(2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

La pendiente de la tangente como límite de las pendientes de las secantes.

 UN POCO DE HISTORIA DEL CALCULO DIFERENCIAL

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo, Kepler, Valerio y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platon, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la geometría analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

El conocimiento matemático del mundo moderno esta avanzado más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más complejas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación.


INFERIMOS QUE TOMEN MUY EN CUENTA QUE SIEMPRE VAMOS A TENER MUY PRESENTE  A LAS DERIVADAS ASÍ QUE ESPERAMOS QUE TODA LA INFORMACIÓN PRESENTE EN ESTE BLOG LES SEA MUY ÚTIL PARA LA SOLUCIÓN DE SUS PROBLEMAS.

APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL EN LA VIDA DIARIA

Una ecuación diferencial por si sola puede describir el ritmo en que se mueve un objeto, que tanto dinero genera una cuenta de ahorros, la velocidad a la que crece o disminuye una población, la velocidad a la que se enfría o se caliente un objeto etc:


1.- Aplicación en la escuela

un ejemplo de calculo diferencial en la vida cotidiana es aplicable en nuestra vida diaria pues podemos emplear el TIEMPO MÍNIMO al entrar a clases o para entregar un trabajo.



2.- Aplicación en la compra de super mercado

 El COSTO MÍNIMO para comprar ya sea un articulo o cosas indispensables para nosotros


3.- Al ir en un auto 

La velocidad se nota en el camino, el viento y lo rápido que avanza que es las VELOCIDAD MÁXIMA O MÍNIMA adecuada para llegar a un destino


4.- En la construcción de puentes y/o casas etc. (ing. civil)

 Utilizamos la RESISTENCIA de los materiales y su comportamiento con el medio ambiente.


 5.- Sirve para procesos estrocásticos (modelos financieros muy avanzados)

 Llevar un orden de las finanzas de alto valor monetario (bancos nacionales e internacionales).