TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

EN ESTE VÍDEO QUE LES PRESENTAMOS A CONTINUACIÓN NOS VA HABLAR SOBRE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN Y EN QUE CONSISTEN ASÍ COMO LOS TEOREMAS MAS USADOS. 


EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS


TEOREMAS CON SUS RESPECTIVOS EJEMPLOS PARA UN MEJOR COMPRENSIÓN


APLICACIÓN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN "REGLA DE LA CADENA"

"DERIVADAS EN LA VIDA COTIDIANA"

COMO CALCULAR DERIVADAS

Las derivadas pueden usarse para obtener muchas características muy útiles sobre una gráfica, como los máximos, mínimos, pendientes, etc. Puedes usarlas para graficar ecuaciones complicadas. Desafortunadamente, obtener las derivadas es muy tedioso, pero este artículo te dirá algunos consejos y trucos que te pueden ayudar.

Pasos

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   Entiende qué es la notación de la derivada.
   

   • La notación de Leibniz Es la más común donde la ecuación involucra ‘y’ y ‘x’. dy/dx significa “la derivada de y con respecto a ‘x’”. Puede ser útil pensar en ella como Δy/Δx para los valores de ‘x’ y ‘y’ que son infinitesimalmente diferentes el uno al otro. Esta explicación se presta para la definición del límite de una derivada: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Si usas esta notación para una segunda derivada, debes escribir: d²y/dx².
   • Notación de Lagrange La derivada de una función también se escribe como f'(x). Esta notación se pronuncia “f prima de x”. Esta notación es más corta que la de Leibniz, y es útil cuando vemos a la derivada como una función. Para formar derivadas de alto orden, simplemente añade otro " ' " a "f," para que la segunda derivada sea f''(x).
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   Entiende qué es una derivada, y para qué se usa. Primero que nada, para encontrar la pendiente de una gráfica lineal, se toman dos puntos de la línea, y sus coordenadas se ponen en la ecuación (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Sin embargo, esto sólo puede usarse con gráficas lineales. Para ecuaciones cuadráticas y de más alto rango, la línea será curva, así que tomar la “diferencia” de dos puntos no será preciso. Para poder encontrar la pendiente de una tangente de una gráfica curva: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx significa "delta x," la cual es la diferencia entre dos coordinadas de x de los dos puntos de la gráfica. Date cuenta que ésta ecuación es la misma que (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), solo en diferente forma. Ya que sabemos que el resultado será equivocado, debemos tomar un enfoque indirecto. Para poder encontrar la pendiente de la tangente en (x, f(x)), dx debe acercarse a 0, para que los dos puntos que se tomen se unan en un solo punto. Sin embargo, no puedes dividir entre 0, así que después de poner los valores de los dos puntos, debes factorizar y hacer otros métodos para cancelar dx en el fondo de la ecuación. Una vez que hayas hecho eso, establece dx a 0 y resuelve. Ésta es la pendiente de la tangente en (x, f(x)). La derivada de una ecuación es la ecuación genérica para encontrar la pendiente de cualquier tangente de una gráfica. Esto puede parecer extremadamente complicado, pero a continuación hay unos ejemplos que pueden aclarar cómo obtener la derivada.

Método 1 de 4: Diferenciación Explícita

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   Usa la diferenciación explícita cuando tienes 'y' de un lado.
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   Coloca la ecuación en la ecuación [f(x + dx) - f(x)]/dx. Por ejemplo, si la ecuación era y = x², la derivada será [(x + dx)² - x²]/dx.
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   Expande y factoriza dx para formar la ecuación [dx(2x + dx)]/dx. Ahora puedes cancelar las dos dx's en la parte de arriba y la de abajo. El resultado es 2x + dx, y cuando dx se acerca a 0, la derivada es 2x. Esto significa que la pendiente de cualquier tangente de la gráfica y = x² es 2x. Sólo coloca el valor de x del punto donde quieres encontrar la pendiente.
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   Aprende los patrones para obtener la derivada a similares ecuaciones. Abajo hay unos ejemplos:
   

   • La derivada de cualquier potencia es la potencia por el valor de la potencia menos 1. Por ejemplo, la derivada de x⁵ es 5x⁴, y la derivada de x^3.5 es 3.5x^2.5. Si ya hay un número enfrente de x, entonces multiplícalo por la potencia. Por ejemplo, la derivada de 3x⁴ es 12x³.
   • La derivada de cualquier constante es cero. Así que la derivada de 8 es 0.
   • La derivada de una suma es la suma de sus derivadas individuales. Por ejemplo, la derivada de x³ + 3x² es 3x² + 6x.
   • La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo factor más el segundo factor por la derivada del primer factor. Por ejemplo, la derivada de x³(2x + 1) es x³(2) + (2x + 1)3x², lo cual es igual a 8x³ + 3x².
   • La derivada de un cociente (digamos, f/g) es [g(derivada de f) - f(derivada de g)]/g². Por ejemplo, la derivada de (x² + 2x - 21)/(x - 3) es (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

Método 2 de 4: Diferenciación Implícita

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   Usa una diferenciación implícita cuando la ecuación no puede escribirse fácilmente con ‘y’ de un lado sola. Incluso si pudiste escribir ‘y’ en un lado, computar dy/dx sería tedioso. Debajo hay unos ejemplos de cómo resolver estos tipos de ecuaciones.
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   En este ejemplo, x²y + 2y³ = 3x + 2y, remplaza y con f(x), así que recordaras que ‘y’ es la función. La ecuación se vuelve x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
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   Para encontrar la derivada de esta ecuación, debes encontrar la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a x. La ecuación entonces se vuelve x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
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   Remplaza f(x) con ‘y’ de nuevo. Ten cuidado de no hacer lo mismo con f'(x), el cual es diferente a f(x).
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   Resuelve para f'(x). La respuesta de este ejemplo quedaría así: (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).

Método 3 de 4: Derivadas de Orden Mayor

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   Calcular la derivada de orden mayor de una función significa calcular la derivada de la derivada (por orden de 2). Por ejemplo, si te pide que calcules la derivada de tercer orden, solo tienes que calcular la derivada de la derivada de la derivada. Para algunas ecuaciones, la derivada de orden mayor llega a 0.

Método 4 de 4: La Regla de la Cadena

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   Cuando 'y' es una función derivada de ‘y’, y ‘z’ es una función derivada de ‘z’, y ‘z’ es una función derivada de ‘x’, y la derivada de ‘y’ con respecto a ‘x’ (dy/dx) es (dy/du)*(du/dx). La regla de la cadena también puede componer ecuaciones, como ésta: (2x⁴ - x)³. Para encontrar la derivada, sólo piensa en la regla del producto. Multiplica la ecuación por la potencia y reduce la potencia por 1. Luego multiplica la ecuación por la derivada del interior de la potencia (en este caso, 2x^4 - x). La respuesta a este problema es 3(2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

La pendiente de la tangente como límite de las pendientes de las secantes.

 UN POCO DE HISTORIA DEL CALCULO DIFERENCIAL

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo, Kepler, Valerio y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platon, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la geometría analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

El conocimiento matemático del mundo moderno esta avanzado más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más complejas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación.


INFERIMOS QUE TOMEN MUY EN CUENTA QUE SIEMPRE VAMOS A TENER MUY PRESENTE  A LAS DERIVADAS ASÍ QUE ESPERAMOS QUE TODA LA INFORMACIÓN PRESENTE EN ESTE BLOG LES SEA MUY ÚTIL PARA LA SOLUCIÓN DE SUS PROBLEMAS.

APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL EN LA VIDA DIARIA

Una ecuación diferencial por si sola puede describir el ritmo en que se mueve un objeto, que tanto dinero genera una cuenta de ahorros, la velocidad a la que crece o disminuye una población, la velocidad a la que se enfría o se caliente un objeto etc:


1.- Aplicación en la escuela

un ejemplo de calculo diferencial en la vida cotidiana es aplicable en nuestra vida diaria pues podemos emplear el TIEMPO MÍNIMO al entrar a clases o para entregar un trabajo.



2.- Aplicación en la compra de super mercado

 El COSTO MÍNIMO para comprar ya sea un articulo o cosas indispensables para nosotros


3.- Al ir en un auto 

La velocidad se nota en el camino, el viento y lo rápido que avanza que es las VELOCIDAD MÁXIMA O MÍNIMA adecuada para llegar a un destino


4.- En la construcción de puentes y/o casas etc. (ing. civil)

 Utilizamos la RESISTENCIA de los materiales y su comportamiento con el medio ambiente.


 5.- Sirve para procesos estrocásticos (modelos financieros muy avanzados)

 Llevar un orden de las finanzas de alto valor monetario (bancos nacionales e internacionales).

"ESTUDIO DE CASO"

¡DERIVANDO CHISMES!

Aymeé Azucena vive en una comunidad del municipio de Acolman, cuyos habitantes son aproximadamente 8000 personas, ella estudia el 5° semestre de la preparatoria, y tiene un novio que es 4 años mayor que ella; sus amiguis, le han advertido que debe cuidarse de su propio novio, pues dicen “¡cuando obtenga lo que busca te dejara!”.

Aymeé hace oídos sordos a estos comentarios aunque si le incomodan de sobremanera, después de todo ella está segura de lo que siente, bueno; pues en un salón no falta el chismosito que escucho dicho comentario y se le ocurrió hacerle una broma, así que invento el “chisme” de que Aymeé estaba embarazada y comenzó a esparcir el rumor entre sus cuates y de inmediato, cual plaga se extendió.

La pobre Aymeé unas horas después se enteró, y angustio. Su orientadora y el maestro de cálculo, le dijeron: el “chisme” es un fenómeno que puede explicarse matemáticamente pues según estudios se ha comprobado que la tasa a la cual se difunde el rumor es directamente proporcional al número de personas que han escuchado el rumor y al número de personas que no lo han escuchado. Además cuando 20 conocidos ya saben el rumor, en este caso, el chisme se difunde  a una tasa de 200 personas por hora.

  a)   ¿Cuál es el modelo matemático que expresa la velocidad a la que se difunde el rumor en función del número de personas que lo han escuchado?

R= La expresión es: V=n/798(8000-n)=1/798(8000n-n2)

  b)  ¿Cuál  es el dominio de dicho modelo matemático?

R= D= (0,8000)

  c)   ¿Cuál sería la gráfica que represente dicho modelo matemático?

R=Graficar la función Y= 1/798(8000n-n2)

  d)   ¿Cómo determinar el número de personas cuando este se esparce a mayor velocidad?

R= con la derivada de V, es decir; V’

  e)   ¿Cuál es la velocidad de mayor esparcimiento?

R= cuando X=4000, hay una tasa máxima de esparcimiento del rumor; V= 20050 personas por hora

  f)   ¿crees que sea posible que todos en el pueblo se enteren de que Aymeé está embarazada?

R= si ya que como nos pudimos dar cuenta en los cálculos anteriores el chime se esparce con facilidad es decir rápidamente

  g)   ¿Qué debería hacer Aymeé en esta situación tan embarazosa?

R= desde nuestro punto de vista debería enfrentar el problema asumir su responsabilidad de tener el bebé si es que en verdad estuviera embarazada; si no de lo contrario debería actuar arduamente para poder explicarle a las personas más cercanas a ella que no está embarazada para así como se esparció ese rumor se esparza lo contrario es decir que se comente que todo fue una “mentira”  o que no haga caso a comentarios perjudiciales sin algún argumento.


LA PRESENTE PROPUESTA DE SOLUCIÓN ES POR MEDIO  DE UNA  GRÁFICA LA CUAL NOS VA AYUDAR A EJEMPLIFICAR LA ANTERIOR FUNCIÓN AQUÍ OBSERVAREMOS EL PUNTO MÁXIMO ASÍ COMO LAS PROPIEDADES O CARACTERÍSTICAS DE LA RESPECTIVA GRÁFICA ASÍ COMO TAMBIÉN CONTIENE LA TABULACIÓN EN LA CUAL PRESENTAMOS LOA RESPECTIVOS VALORES QUE OBTUVIMOS DESPUÉS DE UTILIZAR LA FUNCIÓN.

DESVENTAJA: ES QUE NADA MAS PODEMOS OBSERVAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA POR QUE POR MEDIO DE ESTO NO PODEMOS HACER CÁLCULOS MAS QUE PARA LOS RESULTADOS DE LA TABULACIÓN. 

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

BIENVENIDA

BIENVENIDA

COMPETENCIA DISCIPLINAR BÁSICA (aprendizaje permanente, manejo de información; desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes):

  Ë Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal matemático  y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

COMPETENCIA DISCIPLINAR EXTENDIDA (manejo adecuado de situaciones):

  Ë Formula y resuelve problemas matemáticos a partir de un problema de optimización contextualizado, aplicando diferentes enfoques.

  Ë Identifica los sistemas y reglas de derivación que subyacen en problemas de optimización.

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

ALUMNO	ROL
– Viridiana Vieyra Dávila – Guillermo Ortega Felipe  – Erika Sahian Leon Ocadiz – Montserrat Monroy Narciso – Karla Nava Nava	Diseñador del blog Vocero o expositor Encargado del seguimiento Encargado de recoger las tareas Secretario

En el presente blog encontrarán y observaran como podemos resolver problemas  contextualizados aplicando diferentes enfoques es decir de distintas maneras de resolver el problema  para llegar al mismo resultado, aquí les presentamos un estudio de caso de la vida cotidiana el cual resolvimos con la ayuda de las derivadas, además de una amplia información disponible para todos ustedes la cual se va hacer de mucha ayuda para calculo diferencial así como para resolver problemas de la vida cotidiana ya que aquí encontraras vídeos enlaces que te llevaran a formularios o teoremas de derivadas la cual es información de suma importancia esperamos  y te sea de mucha ayuda. ¡SUERTE!!!

VALORES A FOMENTAR DERIVADOS DE LA SITUACIÓN CONTEXTUAL Y EL TRABAJO COLABORATIVO

« EL RESPETO

« LA SOLIDARIDAD

« LA RESPONSABILIDAD

« LA HONESTIDAD

« LA TOLERANCIA

« EL COMPROMISO

« LA COLABORACIÓN

« LA OPTIMIZACIÓN DE LOS RECURSOS A UTILIZAR.